Vidrio estructural - Análisis estructural y modelado

Una vez hemos repasado los conceptos esenciales sobre fabricación, procesos y tratamientos del vidrio, sus principales particularidades a tener en cuenta durante el diseño y cálculo, así como las principales cargas actuantes sobre estructuras y elementos de vidrio, podemos profundizar ahora en la compresión de los procesos de creación de modelos que representen fielmente el comportamiento del vidrio como material de construcción. No recogeremos en este post los fundamentos de los modelos de elementos finitos (MEF de aquí en adelante) dado que esto se escapa del alcance de este post, pero intentaremos explicar cómo adaptarlos para simular de manera correcta el comportamiento especial del vidrio como elemento estructural.

Los MEF empleados para materiales de construcción comunes como pueden ser el hormigón o el acero se fundamentan en una serie de principios básicos. A los que más afectará el particular comportamiento del vidrio serán a la suposición de una respuesta estructural lineal así como a la consideración de pequeñas deformaciones (en el cálculo general de estructuras se supone que gracias a la rigidez de las mismas los desplazamientos generados por las cargas consideradas son pequeños en relación a las dimensiones globales de la estructura).

Cuando tratamos con estructuras o elementos de vidrio, generalmente manejamos elementos esbeltos cargados en direcciones en las que no poseen demasiada rigidez, y como consecuencia de ello serán altamente deformables. Esto tiene una implicación crucial, y es que las cargas usuales provocan desplazamientos que ya no pueden ser considerados pequeños y por lo tanto rompen con las bases del cálculo tradicional de estructuras de mayor rigidez (para más información consultar la teoría de Kichhoff sobre cálculo estructural de placas). A mayores, los elementos de vidrio suelen estar fijados a través de soportes especiales que, debido a su mayor rigidez en relación al vidrio, generan concentraciones de tensiones en las regiones de contacto dificultando que los MEF comunes representen de manera fiel estas distribuciones de tensiones. Como resultado de estas problemáticas, la resolución del cálculo estructural de elementos de vidrio implicará resolver grandes volúmenes de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (ecuaciones de Von Karman), convirtiendo el cálculo a mano de estos elementos en inasumible. Es por ello que será necesario emplear MEF que permitan integrar en la resolución comportamientos no lineales para realizar el cálculo y diseño de elementos y estructuras de vidrio.

Importancia de la no linealidad geométrica

Tal y como explicamos con anterioridad, el vidrio es un elemento que permite desarrollar grandes deformaciones de manera previa a la rotura. Estos grandes desplazamientos debidos a deformaciones de entidad hacia afuera del plano del vidrio, generarán un acortamiento del plano medio del mismo y, si este acortamiento se encuentra restringido, supondrán la aparición de una serie de tensiones denominadas de membrana que incrementarán en gran medida la rigidez del propio elemento. Para ejemplificar estas tensiones, pensemos en una cuerda larga atada a un poste en uno de sus extremos y sostenida por una persona en el otro. Si colgásemos un peso considerable en el centro de la cuerda este tenderá a desplazar ese punto de la cuerda en vertical hacia abajo, pero lo que sentirá la persona sujetando la cuerda es una fuerza horizontal tirando de ella (este es principio que mantiene en pie los puentes colgantes). Estas tensiones (haciendo una conversión de una a dos dimensiones cuerda-plano) son las denominadas tensiones de membrana. Esta rigidización puede darse incluso cuando los extremos del vidrio no están fijados (por ejemplo, cuando las tensiones circunferenciales de membrana se generan al forzar la deformación de la placa de vidrio en una superficie no desarrollable).

Debido a la presencia de estas tensiones de membrana será necesario emplear un MEF que permita el cálculo no lineal, para así poder tener en cuenta la deformación sufrida por la estructura y la redistribución de tensiones asociada a la misma que permitirá la aparición de estas tensiones de membrana. Si en lugar de esto empleásemos un análisis lineal para el cálculo de los elementos de vidrio caeríamos en una sobreestimación de los desplazamientos en el vidrio. Como consecuencia de esto, si analizásemos el campo de tensiones asociadas a una carga determinada en un elemento de vidrio obtendríamos valores mayores a los reales, por lo que nuestro diseño acabaría sobredimensionado (estaría diseñado para valores de tensiones que no se alcanzarían en la realidad). Por el contrario, para un desplazamiento impuesto en el elemento de vidrio, las tensiones obtenidas a través de un cálculo lineal se encontrarán por debajo de las reales, dejando el diseño obtenido del lado de la inseguridad. Con esto se constata la importancia de considerar la no linealidad geométrica al calcular y diseñar estructuras de vidrio.

Análisis mediante modelos de elementos finitos

Para geometría comunes y cargas uniformes las tensiones desplazamientos máximos pueden ser calculados de manera relativamente simple a través de las tablas, gráficos y formulación incluidos en la normativa habitual. Para geometrías, apoyos o cargas más complejas necesitaremos elaborar MEF para resolver las mencionadas ecuaciones de Von Karman. Será necesario portando disponer de software específico y equipos con una potencia de cálculo relativamente alta. Los distintos softwares de cálculo tienden cada vez más hacia interfaces sencillas de fácil utilización facilitando esta labor, pero con esto viene una peligrosa contrapartida. La facilidad para crear estos modelos y obtener resultados es tal que cualquier técnico con un mínimo de formación podría llegar a modelizar estructuras complejas obteniendo resultados de cálculo plausibles. Es en este punto cuando la labor de un buen ingeniero cobra importancia, ya que será necesario analizar de manera crítica estos resultados para poder discernir si el modelo está representando fielmente la realidad o no. En esta tarea la experiencia y el conocimiento juegan un papel crucial.

En cuanto a la elaboración del MEF, será necesario seguir una serie de pautas para lograr un correcto funcionamiento del mismo. Se describen a continuación las principales en relación al cálculo de vidrio estructural, si bien no serán las únicas.

Al definir la malla de elementos en los que se descompondrá la geometría para el cálculo se debe de prestar especial atención a la hora de ajustar la densidad de elementos (número de elementos del MEF por unidad de superficie) de acuerdo con la distribución de tensiones esperada en el elemento. De esta manera se establecerán mallas finas (elementos de menor tamaño) en los puntos o regiones en los que se esperen concentraciones locales de tensiones, como pueden ser las regiones en las que actúan cargas puntuales, apoyos puntuales, discontinuidades geométricas, etc. Para regiones uniformes sin puntos de concentración de tensiones una malla de menor densidad (elementos más grandes) aligerará el proceso de cálculo, haciéndolo más rápido. En relación a este ajuste, se comprobará que las densidades de malla establecida otorgan una solución óptima mediante la ejecución de un análisis de convergencia. Para ello se comprobará que el hecho de refinar la malla (ajustar la densidad) no afecta a la magnitud de los resultados obtenidos.

Otra de las estrategias fundamentales será el poner especial atención a la hora de modelas las distintas partes del MEF así como sus apoyos para que su comportamiento se corresponda con el real. Especialmente al definir los apoyos y soportes del vidrio en el MEF deberemos de tener en cuenta el hecho de que la mayoría de estos soportes son elementos metálicos protegidos por elementos elásticos, ya sean gomas o otros materiales. Por tanto, los apoyos no suelen constituir fijaciones del vidrio en todas direcciones, si no que suelen permitir el despegue del vidrio de ellos. Para simular este comportamiento los software de cálculo más comunes incluyen tipos de apoyos definidos como "compression only", en los cuales se permite bloquear los desplazamientos en una dirección determinada únicamente en uno de los sentidos (por ejemplo, permitiendo el desplazamiento en el sentido positivo del eje x, pero restringiéndolo en el sentido negativo). De esta manera se permitirá que el vidrio se levante de sus apoyos si su comportamiento real tiende a ello.

Se deberá de tener en cuenta las particularidades del vidrio cuando sobre el actúan cargas contenidas en su propio plano, ya que podrían dar lugar a fenómenos de pandeo. Este tipo de fenómenos serán analizados en futuros posts de esta serie de vidrio estructural.

Aproximaciones simplificadas

La regulación y normativa de los distintos país puede proporcionar buenas aproximaciones para el cálculo de tensiones y desplazamientos de unidades de vidrio estándar a través de tablas, gráficos y formulación relativamente simple. La normativa más utilizada para este tipo de cálculos serán el ASTM E 1300-04, la normativa provisional prEN 16612 o normativa propia de cada país, como el DTU 39 P4.

Ejemplo de cálculo

Para ejemplificar la diferencia entre las distintas aproximaciones se plantea la resolución de un ejercicio teórico. Se realizará el cálculo de desplazamientos y tensiones en un vidrio cuadrado de 2x2 metros, apoyado en todo su perímetro y con cargas uniformemente distribuidas de distintos valores. Para ello se realiza el cálculo a través de una de las normativas de aplicación (la prEN 16612) y se crean dos MEF, uno con resolución mediante cálculo lineal y otro teniendo en cuenta la no linealidad geométrica del vidrio. Para concluir se comparan los resultados obtenidos por cada uno de los métodos.

Cálculo por tablas

La primera aproximación se centra en la aplicación de una de las normativas válidas para la resolución de este ejemplo. Dado que es la normativa aplicable en España, se utilizará la normativa provisional europea prEN 16612. A través de la metodología recogida, basada en la aplicación de determinados parámetros que se ajustarán al modelo y una formulación relativamente simple se obtienen los resultados reflejados en la tabla (no se recoge el proceso de cálculo, únicamente los resultados obtenidos).

Modelo lineal

Se genera en el software de cálculo un modelo de elementos finitos reflejando la geometría del vidrio objeto de estudio. Dada la regularidad en la geometría se establece una malla regular de elementos cuadrados. Los apoyos se materializan como impedimentos al desplazamiento vertical en los nudos perimetrales del modelo, simulando el comportamiento del vidrio dentro de un teórico marco metálico fijo. La configuración del modelo será la reflejada en la imagen siguiente.

A continuación se recogen las vistas del modelo representado los desplazamientos y tensiones máximas para una carga de 5 kPa:

Modelo no lineal

El modelo empleado para el cálculo no lineal será similar al anterior, ajustando el proceso de resolución (solver del sistema) para tener en consideración los efectos de segundo orden y por tanto la no linealidad geométrica ya mencionada. Los resultados para una carga distribuida de 5 kPa serán los recogidos a continuación.

Puede observarse como, en comparación con los resultados del caso lineal, descienden tanto las tensiones como los desplazamientos. En el apartado conclusiones se realizará un análisis más detallado.

Conclusiones

Se ofrece a continuación una comparativa de los resultados obtenidos por cada uno de los métodos mencionados.

Puede observarse como los fenómenos anteriormente explicados se reflejan perfectamente en los resultados obtenidos. Se constata el hecho de que el cálculo no lineal sobreestima desplazamientos y tensiones, mientras que para geometrías y cargas regulares la normativa aproxima muy bien los resultados obtenidos a través del cálculo no lineal. Para geometrías o cargas complejas únicamente un MEF resuelto mediante cálculo no lineal sería capaz de representar el comportamiento real del vidrio.

En el próximo post os hablaremos de la mecánica de fractura, sus procesos de crecimiento desde el punto de vista del vidrio estructural y las principales consideraciones a tener en cuenta en su tratamiento. Esperemos que este post os haya resultado interesante y nos vemos en el siguiente!